diff --git a/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md new file mode 100644 index 0000000..a1a04d7 --- /dev/null +++ b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md @@ -0,0 +1,119 @@ +# Proposições, representações simbólicas e tautologias +A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações. + +## Proposição / declaração / sentença +Chama-se de proposição toda oração **declarativa** (não é exclamativa nem nem interrogativa), que **possui sujeito e predicato** e **pode assumir apenas um dos dois valores lógicos**: ou é verdadeira (**V**) ou falsa (**F**). + +- São exemplos de proposições: + 1. Nove é diferente de cinco. $(9 \neq 5)$ + 2. Sete é maior que três. $(7 > 3)$ + 3. Dois é um número inteiro. $(2 \in \mathbb{Z})$ + 4. Três é divisor de onze. $(3 \mid 11)$ + 5. Quatro vezes cinco é igual a vinte. $(4 \cdot 5 = 20)$ + 6. Dois mais dois é igual a três. $(2 + 2 = 3)$ + 7. Belém é a capital do Pará. + 8. Todo número par natural é a soma de dois números primos. + +As proposições $1, 2, 3, 5, 7$ e $8$ são **verdadeiras**. +As proposições $4$ e $6$ são **falsas**. + +- Não são exemplos de proposições: + 1. Leia isto cuidadosamente. + - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença imperativa. + 2. Que horas são? + - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa. + 3. $x$ mais um é igual a 2. $(x + 1 = 2)$. + - Conhecida como sentença aberta (ou expressão aberta). Apesar de possuir predicado, $x$ não possui sujeito definido (o sujeito deveria ser o valor concreto de $x$). Portanto, não é proposição. + 4. Três vezes cinco mais um. $(3 \cdot 5 + 1)$ + - Não é proposição pois não possui predicado. + 5. A raiz quadrada de dois é número racional? $(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}?)$ + - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa. + 6. O triplo de um número menos um é igual a onze. $(3x - 1 = 11)$ + - Novamente, o sujeito não está definido. Portanto, não pode ser classificada em verdadeira ou falsa. + +### Representação simbólica: +Durante este documento, letras minúsculas (como $p, q, r$ e $s$) serão usadas para representar as proposições. + +- Exemplos: + - $p =$ "Chove toda quinta-feira" + - $q =$ "$7 > 3$". + +## Negação +A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada **negação de p** e indicada com o símbolo $\neg$p, $\sim$p ou $\overline{p}$ (usaremos $\neg$ p). + +- Exemplos: + 1. p: Nove é diferente de cinco. ($9 \neq 5$) + - $\neg p$: Nove é igual a cinco ($9 = 5$) + 2. p: Sete é maior que três ($7 > 3$) + - $\neg p$: 7 é menor ou igual a três ($7 \leq 3$) + 3. p: Dois é um número inteiro ($2 \in \mathbb{Z}$) + - $\neg p$: Dois não é um número inteiro ($2 \notin \mathbb{Z}$) + 4. p: Três é divisor de onze ($3 \mid 11$) + - $\neg p$: Três não é divisor de 11 ($3 \not\mid 11$) + 5. p: Quatro vezes cinco é igual a 20 ($4 \cdot 5 = 20$) + - $\neg p$: Quatro vezes cinco não é igual a 20 ($4 \cdot 5 \neq 20$) + + +A proposição $\neg p$ tem sempre o valor oposto de p, isto é, $\neg$ p é verdadeira quando p é _falsa_ e $\neg p$ é falsa quando p é verdadeira. + +Este critério está resumido na tabela abaixo, denominada **tabela-verdade** da proposição $\neg p$: + +| p | $\neg p$ | +| :-: | :------: | +| V | F | +| F | V | + +## Proposição composta (Conectivos) e Valores lógicos +Novas proposições podem ser construídas mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos. O valor lógico de uma proposição combinada depende dos valores lógicos de seus componentes e dos conectivos usados. + +### Conectivo $\land$: Conjunção +A expressão $p \land q$ (lê-se "p e q" ) é chamada **conjunção** de $p$ e $q$. + +- Exemplos: + 1. $p:2 > 0$ + $q: 2 \neq 1$ + $p \land q: 2 > 0$ e $2 \neq 1$ + 2. $p: -2 < -1$ + $q: (-2)^{2} < (-1)^{2}$ + $p \land q: -2 < -1$ e $(-2)^{2} < (-1)^{2}$ + +A conjunção $p \land q$ é verdadeira se $p$ e $q$ são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então $p \land q$ é falsa. + +A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \land b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \land q$: +| $p$ | $q$ | $p \land q$ | +| :---: | :---: | :---: | +| V | V | V | +| V | F | F | +| F | V | F | +| F | F | F | + +### Conectivo $\lor$: Disjunção +A expressão $p \lor q$ (lê-se "p ou q") é chamada **disjunção** de $p$ e $q$. A disjunção também é conhecida como **ou-inclusivo**. + +- Exemplos: + 1. $p: 5 > 0$ + $q: 5 > 1$ + $p \lor q: 5 > 0$ ou $5 > 1$. + 2. $p: 10$ é um número primo + $q: 10$ é um número composto + $p \lor q: 10$ é um número primo ou número composto. + +A disjunção $p \lor q$ é verdadeira se ao menos uma das proposições $p$ ou $q$ é verdadeira; se $p$ e $q$ são ambas falsas, então $p \lor q$ é falsa. + +A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \lor b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \lor q$: +| $p$ | $q$ | $p \lor q$ | +| :---: | :---: | :---: | +| V | V | V | +| V | F | V | +| F | V | V | +| F | F | F | + + +# EXERCICIOS PARA ESSA NOTA +==(depois)== + + +Referências: +--- +- [Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação - Judith Gersting](https://app-profview.grupogen.com.br/fundamentos-matematicos-para-a-ciencia-da-computacao) +- [Fundamentos de matemática elementar - Volume 1: Conjuntos e funções - Gelson Iezzi e Carlos Murakami](https://www.amazon.com.br/Fundamentos-Matemática-Elementar-Gelson-Murakami/dp/8535716807) \ No newline at end of file