From e0ed269fbb1497870b2fefa72b51094c9c6c214e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Mon, 3 Nov 2025 04:23:50 +0000 Subject: [PATCH 01/10] Updated vanel.md (markdown) --- vanel/vanel.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/vanel/vanel.md b/vanel/vanel.md index 71731b5..6ac005d 100644 --- a/vanel/vanel.md +++ b/vanel/vanel.md @@ -7,7 +7,7 @@ Universidade Matemática Discreta From bae70b17cc74484e2db73bf36fdbee05f2c49097 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Mon, 3 Nov 2025 04:30:25 +0000 Subject: [PATCH 02/10] =?UTF-8?q?Updated=20Introdu=C3=A7=C3=A3o.md=20(mark?= =?UTF-8?q?down)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- vanel/Matemática Discreta/Introdução.md | 9 +++++---- 1 file changed, 5 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md b/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md index 29e30e4..2332fe4 100644 --- a/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md +++ b/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md @@ -1,5 +1,4 @@ -# Introdução -Matemática é uma palavra que tem origem na palavra grega “máthema" que significa Ciência, conhecimento ou aprendizagem, derivando daí "mathematikós",que significa "aquilo que se pode aprender"^[[A LINGUAGEM UNIVERSAL: Matemática suas origens, símbolos e atributos - Edel Alexandre Silva Pontes](https://revistas.cesmac.edu.br/psicologia/article/view/1085/832)]. [...] É uma linguagem universal que permeia todas as áreas do conhecimento e da vida, sendo essencial para o desenvolvimento da ciência, tecnologia e sociedade como um todo^[[Aprofundamento em Matemática - Escola ORT](https://ort.org.br/department/aprofundamento-em-matematica/)]. +Matemática é uma palavra que tem origem na palavra grega “máthema" que significa Ciência, conhecimento ou aprendizagem, derivando daí "mathematikós",que significa "aquilo que se pode aprender"$\large ^{[1]}$. [...] É uma linguagem universal que permeia todas as áreas do conhecimento e da vida, sendo essencial para o desenvolvimento da ciência, tecnologia e sociedade como um todo$\large ^{[2]}$. Desde os tempos antigos, matemáticos e filósofos preocupavam-se em fazer a distinção entre o contínuo e o numerável. Esse debate reverberou até os tempos atuais e foi aprofundado por outros matemáticos como [Georg Cantor](https://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor), que formalizou a noção entre conjuntos contavéis e incontáveis. @@ -12,16 +11,18 @@ O foco de estudo deste documento será a matemática discreta e suas aplicaçõe > Pode ser interessante: [ Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics - James Franklin](https://scholarship.claremont.edu/jhm/vol7/iss2/18/) -### Motivos para estudar Matemática Discreta +## Motivos para estudar Matemática Discreta 1. Matemática discreta é a porta de entrada para cursos mais avançados em todas as áreas das ciências matemáticas. 2. Seu domínio ajuda a desenvolver uma maior maturidade matemática, ou seja, a capacidade de entender e criar argumentos formais (matemáticos). 3. É a base para muitos cursos e disciplinas de ciência da computação: - Estruturas de dados, algoritmos, banco de dados, linguages formais e autômatos, compiladores, segurança computacional, inteligência artificial, sistemas operacionais, ... ---- + Referências: --- +- [ 1 ] [A LINGUAGEM UNIVERSAL: Matemática suas origens, símbolos e atributos - Edel Alexandre Silva Pontes](https://revistas.cesmac.edu.br/psicologia/article/view/1085/832) +- [ 2 ] [Aprofundamento em Matemática - Escola ORT](https://ort.org.br/department/aprofundamento-em-matematica/) - [Matemática discreta (wikipedia)](https://pt.wikipedia.org/wiki/Matemática_discreta) --- \ No newline at end of file From 551b40dbd7ab953afb0cd329f783b0e8a5c856bd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Mon, 3 Nov 2025 04:31:30 +0000 Subject: [PATCH 03/10] =?UTF-8?q?Updated=20Introdu=C3=A7=C3=A3o.md=20(mark?= =?UTF-8?q?down)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- vanel/Matemática Discreta/Introdução.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md b/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md index 2332fe4..95ede59 100644 --- a/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md +++ b/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md @@ -1,4 +1,4 @@ -Matemática é uma palavra que tem origem na palavra grega “máthema" que significa Ciência, conhecimento ou aprendizagem, derivando daí "mathematikós",que significa "aquilo que se pode aprender"$\large ^{[1]}$. [...] É uma linguagem universal que permeia todas as áreas do conhecimento e da vida, sendo essencial para o desenvolvimento da ciência, tecnologia e sociedade como um todo$\large ^{[2]}$. +Matemática é uma palavra que tem origem na palavra grega “máthema" que significa Ciência, conhecimento ou aprendizagem, derivando daí "mathematikós", que significa "aquilo que se pode aprender"$\large ^{[1]}$. [...] É uma linguagem universal que permeia todas as áreas do conhecimento e da vida, sendo essencial para o desenvolvimento da ciência, tecnologia e sociedade como um todo$\large ^{[2]}$. Desde os tempos antigos, matemáticos e filósofos preocupavam-se em fazer a distinção entre o contínuo e o numerável. Esse debate reverberou até os tempos atuais e foi aprofundado por outros matemáticos como [Georg Cantor](https://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor), que formalizou a noção entre conjuntos contavéis e incontáveis. From 39e2c475febe8284f6cf6368b385c509496011d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Tue, 4 Nov 2025 15:40:29 +0000 Subject: [PATCH 04/10] =?UTF-8?q?Renamed=20Introdu=C3=A7=C3=A3o=20to=200.?= =?UTF-8?q?=20Introdu=C3=A7=C3=A3o?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .redirects.gollum | 1 + vanel/Matemática Discreta/{Introdução.md => 0. Introdução.md} | 0 2 files changed, 1 insertion(+) rename vanel/Matemática Discreta/{Introdução.md => 0. Introdução.md} (100%) diff --git a/.redirects.gollum b/.redirects.gollum index 8e26d32..8cf1773 100644 --- a/.redirects.gollum +++ b/.redirects.gollum @@ -2,3 +2,4 @@ Eu sei os sgredos de Joseph, ele não ficará impune .md: Eu sei os sgredos de Joseph%2C ele não ficará impune .md vanel/Matemática Discreta/Matemática Discreta.md: vanel/Matemática Discreta/Introdução.md +vanel/Matemática Discreta/Introdução.md: vanel/Matemática Discreta/0. Introdução.md diff --git a/vanel/Matemática Discreta/Introdução.md b/vanel/Matemática Discreta/0. Introdução.md similarity index 100% rename from vanel/Matemática Discreta/Introdução.md rename to vanel/Matemática Discreta/0. Introdução.md From 64df34a8e63f21817790c91da2d8da76a4e0944c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Tue, 4 Nov 2025 18:02:06 +0000 Subject: [PATCH 05/10] =?UTF-8?q?Created=201.=20L=C3=B3gica=20proposiciona?= =?UTF-8?q?l=20(markdown)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../1. Lógica proposicional.md | 119 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 119 insertions(+) create mode 100644 vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md diff --git a/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md new file mode 100644 index 0000000..a1a04d7 --- /dev/null +++ b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md @@ -0,0 +1,119 @@ +# Proposições, representações simbólicas e tautologias +A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações. + +## Proposição / declaração / sentença +Chama-se de proposição toda oração **declarativa** (não é exclamativa nem nem interrogativa), que **possui sujeito e predicato** e **pode assumir apenas um dos dois valores lógicos**: ou é verdadeira (**V**) ou falsa (**F**). + +- São exemplos de proposições: + 1. Nove é diferente de cinco. $(9 \neq 5)$ + 2. Sete é maior que três. $(7 > 3)$ + 3. Dois é um número inteiro. $(2 \in \mathbb{Z})$ + 4. Três é divisor de onze. $(3 \mid 11)$ + 5. Quatro vezes cinco é igual a vinte. $(4 \cdot 5 = 20)$ + 6. Dois mais dois é igual a três. $(2 + 2 = 3)$ + 7. Belém é a capital do Pará. + 8. Todo número par natural é a soma de dois números primos. + +As proposições $1, 2, 3, 5, 7$ e $8$ são **verdadeiras**. +As proposições $4$ e $6$ são **falsas**. + +- Não são exemplos de proposições: + 1. Leia isto cuidadosamente. + - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença imperativa. + 2. Que horas são? + - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa. + 3. $x$ mais um é igual a 2. $(x + 1 = 2)$. + - Conhecida como sentença aberta (ou expressão aberta). Apesar de possuir predicado, $x$ não possui sujeito definido (o sujeito deveria ser o valor concreto de $x$). Portanto, não é proposição. + 4. Três vezes cinco mais um. $(3 \cdot 5 + 1)$ + - Não é proposição pois não possui predicado. + 5. A raiz quadrada de dois é número racional? $(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}?)$ + - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa. + 6. O triplo de um número menos um é igual a onze. $(3x - 1 = 11)$ + - Novamente, o sujeito não está definido. Portanto, não pode ser classificada em verdadeira ou falsa. + +### Representação simbólica: +Durante este documento, letras minúsculas (como $p, q, r$ e $s$) serão usadas para representar as proposições. + +- Exemplos: + - $p =$ "Chove toda quinta-feira" + - $q =$ "$7 > 3$". + +## Negação +A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada **negação de p** e indicada com o símbolo $\neg$p, $\sim$p ou $\overline{p}$ (usaremos $\neg$ p). + +- Exemplos: + 1. p: Nove é diferente de cinco. ($9 \neq 5$) + - $\neg p$: Nove é igual a cinco ($9 = 5$) + 2. p: Sete é maior que três ($7 > 3$) + - $\neg p$: 7 é menor ou igual a três ($7 \leq 3$) + 3. p: Dois é um número inteiro ($2 \in \mathbb{Z}$) + - $\neg p$: Dois não é um número inteiro ($2 \notin \mathbb{Z}$) + 4. p: Três é divisor de onze ($3 \mid 11$) + - $\neg p$: Três não é divisor de 11 ($3 \not\mid 11$) + 5. p: Quatro vezes cinco é igual a 20 ($4 \cdot 5 = 20$) + - $\neg p$: Quatro vezes cinco não é igual a 20 ($4 \cdot 5 \neq 20$) + + +A proposição $\neg p$ tem sempre o valor oposto de p, isto é, $\neg$ p é verdadeira quando p é _falsa_ e $\neg p$ é falsa quando p é verdadeira. + +Este critério está resumido na tabela abaixo, denominada **tabela-verdade** da proposição $\neg p$: + +| p | $\neg p$ | +| :-: | :------: | +| V | F | +| F | V | + +## Proposição composta (Conectivos) e Valores lógicos +Novas proposições podem ser construídas mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos. O valor lógico de uma proposição combinada depende dos valores lógicos de seus componentes e dos conectivos usados. + +### Conectivo $\land$: Conjunção +A expressão $p \land q$ (lê-se "p e q" ) é chamada **conjunção** de $p$ e $q$. + +- Exemplos: + 1. $p:2 > 0$ + $q: 2 \neq 1$ + $p \land q: 2 > 0$ e $2 \neq 1$ + 2. $p: -2 < -1$ + $q: (-2)^{2} < (-1)^{2}$ + $p \land q: -2 < -1$ e $(-2)^{2} < (-1)^{2}$ + +A conjunção $p \land q$ é verdadeira se $p$ e $q$ são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então $p \land q$ é falsa. + +A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \land b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \land q$: +| $p$ | $q$ | $p \land q$ | +| :---: | :---: | :---: | +| V | V | V | +| V | F | F | +| F | V | F | +| F | F | F | + +### Conectivo $\lor$: Disjunção +A expressão $p \lor q$ (lê-se "p ou q") é chamada **disjunção** de $p$ e $q$. A disjunção também é conhecida como **ou-inclusivo**. + +- Exemplos: + 1. $p: 5 > 0$ + $q: 5 > 1$ + $p \lor q: 5 > 0$ ou $5 > 1$. + 2. $p: 10$ é um número primo + $q: 10$ é um número composto + $p \lor q: 10$ é um número primo ou número composto. + +A disjunção $p \lor q$ é verdadeira se ao menos uma das proposições $p$ ou $q$ é verdadeira; se $p$ e $q$ são ambas falsas, então $p \lor q$ é falsa. + +A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \lor b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \lor q$: +| $p$ | $q$ | $p \lor q$ | +| :---: | :---: | :---: | +| V | V | V | +| V | F | V | +| F | V | V | +| F | F | F | + + +# EXERCICIOS PARA ESSA NOTA +==(depois)== + + +Referências: +--- +- [Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação - Judith Gersting](https://app-profview.grupogen.com.br/fundamentos-matematicos-para-a-ciencia-da-computacao) +- [Fundamentos de matemática elementar - Volume 1: Conjuntos e funções - Gelson Iezzi e Carlos Murakami](https://www.amazon.com.br/Fundamentos-Matemática-Elementar-Gelson-Murakami/dp/8535716807) \ No newline at end of file From b592248eb7f7fab08ec444f312a9e80edd920a6c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Tue, 4 Nov 2025 18:13:38 +0000 Subject: [PATCH 06/10] =?UTF-8?q?Updated=201.=20L=C3=B3gica=20proposiciona?= =?UTF-8?q?l.md=20(markdown)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md | 2 ++ 1 file changed, 2 insertions(+) diff --git a/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md index a1a04d7..cee2a8b 100644 --- a/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md +++ b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md @@ -80,6 +80,7 @@ A expressão $p \land q$ (lê-se "p e q" ) é chamada **conjunção** de $p$ e $ A conjunção $p \land q$ é verdadeira se $p$ e $q$ são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então $p \land q$ é falsa. A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \land b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \land q$: + | $p$ | $q$ | $p \land q$ | | :---: | :---: | :---: | | V | V | V | @@ -101,6 +102,7 @@ A expressão $p \lor q$ (lê-se "p ou q") é chamada **disjunção** de $p$ e $q A disjunção $p \lor q$ é verdadeira se ao menos uma das proposições $p$ ou $q$ é verdadeira; se $p$ e $q$ são ambas falsas, então $p \lor q$ é falsa. A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \lor b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \lor q$: + | $p$ | $q$ | $p \lor q$ | | :---: | :---: | :---: | | V | V | V | From 3861f0d9962c9226d1ac2ef9e821715e2609cd8a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Tue, 4 Nov 2025 18:14:09 +0000 Subject: [PATCH 07/10] =?UTF-8?q?Updated=20Introdu=C3=A7=C3=A3o.md=20(mark?= =?UTF-8?q?down)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapa-sigmoide/Introdução.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/chapa-sigmoide/Introdução.md b/chapa-sigmoide/Introdução.md index 79dcee8..4d0e807 100644 --- a/chapa-sigmoide/Introdução.md +++ b/chapa-sigmoide/Introdução.md @@ -14,7 +14,7 @@ - Diretorias Integradas - - Diretoria de Comunicação: Henrique + - Diretoria de Comunicação: Henrique ## Filosofia From 70f84ee88f476bebef3d1e6104b09412a3bdda1c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Tue, 4 Nov 2025 18:24:55 +0000 Subject: [PATCH 08/10] Updated vanel.md (markdown) --- vanel/vanel.md | 3 ++- 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/vanel/vanel.md b/vanel/vanel.md index 6ac005d..ed393fe 100644 --- a/vanel/vanel.md +++ b/vanel/vanel.md @@ -7,7 +7,8 @@ Universidade Matemática Discreta
    -
  • [[Introdução | Matemática Discreta/Introdução.md]]
    • +
  • [[0. Introdução | Matemática Discreta/0. Introdução.md]]
    • +
  • [[1. Lógica proposicional | Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md]]
From 3a967da7a940df60163318d1f1c1d38a60bf0ad9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Tue, 4 Nov 2025 18:35:14 +0000 Subject: [PATCH 09/10] =?UTF-8?q?Updated=201.=20L=C3=B3gica=20proposiciona?= =?UTF-8?q?l.md=20(markdown)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md | 6 +++++- 1 file changed, 5 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md index cee2a8b..aee747d 100644 --- a/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md +++ b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md @@ -118,4 +118,8 @@ A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \lor b$ para todos os valore Referências: --- - [Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação - Judith Gersting](https://app-profview.grupogen.com.br/fundamentos-matematicos-para-a-ciencia-da-computacao) -- [Fundamentos de matemática elementar - Volume 1: Conjuntos e funções - Gelson Iezzi e Carlos Murakami](https://www.amazon.com.br/Fundamentos-Matemática-Elementar-Gelson-Murakami/dp/8535716807) \ No newline at end of file +- [Fundamentos de matemática elementar - Volume 1: Conjuntos e funções - Gelson Iezzi e Carlos Murakami](https://www.amazon.com.br/Fundamentos-Matemática-Elementar-Gelson-Murakami/dp/8535716807) + +--- + +$\rightarrow$ [[Conteúdo anterior: Introdução | vanel/Matemática Discreta/0. Introdução.md]] \ No newline at end of file From 42575492cd8f4219cde6e63e42781abe6683b469 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Yuri Date: Wed, 5 Nov 2025 02:38:47 +0000 Subject: [PATCH 10/10] =?UTF-8?q?Updated=201.=20L=C3=B3gica=20proposiciona?= =?UTF-8?q?l.md=20(markdown)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md | 10 +++++----- 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md index aee747d..5abca3e 100644 --- a/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md +++ b/vanel/Matemática Discreta/1. Lógica proposicional.md @@ -70,16 +70,16 @@ Novas proposições podem ser construídas mediante o emprego de dois símbolos A expressão $p \land q$ (lê-se "p e q" ) é chamada **conjunção** de $p$ e $q$. - Exemplos: - 1. $p:2 > 0$ - $q: 2 \neq 1$ + 1. $p:2 > 0$ + $q: 2 \neq 1$ $p \land q: 2 > 0$ e $2 \neq 1$ - 2. $p: -2 < -1$ - $q: (-2)^{2} < (-1)^{2}$ + 2. $p: -2 < -1$ + $q: (-2)^{2} < (-1)^{2}$ $p \land q: -2 < -1$ e $(-2)^{2} < (-1)^{2}$ A conjunção $p \land q$ é verdadeira se $p$ e $q$ são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então $p \land q$ é falsa. -A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \land b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \land q$: +A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $p \land q$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \land q$: | $p$ | $q$ | $p \land q$ | | :---: | :---: | :---: |