# Proposições, representações simbólicas e tautologias
A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações.

## Proposição / declaração / sentença
Chama-se de proposição toda oração **declarativa** (não é exclamativa nem nem interrogativa), que **possui sujeito e predicato** e **pode assumir apenas um dos dois valores lógicos**: ou é verdadeira (**V**) ou falsa (**F**).

- São exemplos de proposições:
    1. Nove é diferente de cinco. $(9 \neq 5)$
    2. Sete é maior que três. $(7 > 3)$
    3. Dois é um número inteiro. $(2 \in \mathbb{Z})$
    4. Três é divisor de onze. $(3 \mid 11)$
    5. Quatro vezes cinco é igual a vinte. $(4 \cdot 5 = 20)$
    6. Dois mais dois é igual a três. $(2 + 2 = 3)$
    7.  Belém é a capital do Pará.
    8. Todo número par natural é a soma de dois números primos.
 
As proposições $1, 2, 3, 5, 7$ e $8$ são **verdadeiras**.
As proposições $4$ e $6$  são **falsas**.

- Não são exemplos de proposições:
    1. Leia isto cuidadosamente.
        - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença imperativa.
    2. Que horas são?
        - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa.
    3. $x$ mais um é igual a 2. $(x + 1 = 2)$.
        - Conhecida como sentença aberta (ou expressão aberta). Apesar de possuir predicado, $x$ não possui sujeito definido (o sujeito deveria ser o valor concreto de $x$). Portanto, não é proposição.
    4. Três vezes cinco mais um. $(3 \cdot 5 + 1)$
        - Não é proposição pois não possui predicado.
    5. A raiz quadrada de dois é número racional? $(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}?)$
        - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa.
    6. O triplo de um número menos um é igual a onze. $(3x - 1 = 11)$
        - Novamente, o sujeito não está definido. Portanto, não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
        
### Representação simbólica:
Durante este documento, letras minúsculas (como $p, q, r$ e $s$) serão usadas para representar as proposições.

- Exemplos:  
    - $p =$ "Chove toda quinta-feira"
    - $q =$ "$7 > 3$".
    
## Negação
A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada **negação de p** e indicada com o símbolo $\neg$p, $\sim$p ou $\overline{p}$  (usaremos $\neg$ p).

- Exemplos:
    1. p: Nove é diferente de cinco. ($9 \neq 5$)
        - $\neg p$: Nove é igual a cinco ($9 = 5$)
    2. p: Sete é maior que três ($7 > 3$) 
        - $\neg p$: 7 é menor ou igual a três ($7 \leq 3$) 
    3. p: Dois é um número inteiro ($2 \in \mathbb{Z}$)
        - $\neg p$: Dois não é um número inteiro ($2 \notin \mathbb{Z}$)
    4. p: Três é divisor de onze ($3 \mid 11$)
        - $\neg p$: Três não é divisor de 11 ($3 \not\mid 11$)
    5. p: Quatro vezes cinco é igual a 20 ($4 \cdot 5 = 20$)
        - $\neg p$: Quatro vezes cinco não é igual a 20 ($4 \cdot 5 \neq 20$) 


A proposição $\neg p$ tem sempre o valor oposto de p, isto é, $\neg$ p é verdadeira quando p é _falsa_ e $\neg p$ é falsa quando p é verdadeira.  

Este critério está resumido na tabela abaixo, denominada **tabela-verdade** da proposição $\neg p$:

|  p  | $\neg p$ |
| :-: | :------: |
|  V  |    F     |
|  F  |    V     |

## Proposição composta (Conectivos) e Valores lógicos
Novas proposições podem ser construídas mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos. O valor lógico de uma proposição combinada depende dos valores lógicos de seus componentes e dos conectivos usados.

### Conectivo $\land$: Conjunção
A expressão $p \land q$ (lê-se "p e q" ) é chamada **conjunção** de $p$ e $q$.

- Exemplos:
    1. $p:2 > 0$  
        $q:  2 \neq 1$  
        $p \land q: 2 > 0$ e $2 \neq 1$
    2. $p: -2 < -1$  
        $q: (-2)^{2} < (-1)^{2}$  
        $p \land q: -2 < -1$ e $(-2)^{2} < (-1)^{2}$
 
A conjunção $p \land q$ é verdadeira se $p$ e $q$ são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então $p \land q$ é falsa.

A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $p \land q$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \land q$:

|  $p$   |  $q$   |  $p \land q$   |
| :---: | :---: | :---: |
|  V  |  V   |   V  |
|  V   |  F   |  F   |
|  F   |   V  |  F   |
|  F   |   F  |  F   |

### Conectivo $\lor$: Disjunção
A expressão $p \lor q$ (lê-se "p ou q") é chamada **disjunção** de $p$ e $q$. A disjunção também é conhecida como **ou-inclusivo**.

- Exemplos:
    1. $p: 5 > 0$
         $q: 5 > 1$
         $p \lor q: 5 > 0$ ou $5 > 1$.
    2. $p: 10$ é um número primo
        $q: 10$ é um número composto
        $p \lor q: 10$ é um número primo ou número composto.
        
A disjunção $p \lor q$ é verdadeira se ao menos uma das proposições $p$ ou $q$ é verdadeira; se $p$ e $q$ são ambas falsas, então $p \lor q$ é falsa.

A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \lor b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \lor q$:

|  $p$   | $q$    | $p \lor q$    |
| :---: | :---: | :---: |
|  V   |  V   |  V   |
|  V   |   F  |  V   |
|  F   |   V  |  V   |
|   F  |   F  |   F  |


# EXERCICIOS PARA ESSA NOTA
==(depois)==


Referências:
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- [Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação - Judith Gersting](https://app-profview.grupogen.com.br/fundamentos-matematicos-para-a-ciencia-da-computacao)
- [Fundamentos de matemática elementar - Volume 1: Conjuntos e funções -  Gelson Iezzi e Carlos Murakami](https://www.amazon.com.br/Fundamentos-Matemática-Elementar-Gelson-Murakami/dp/8535716807)

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