1ª Lista de matemática discreta
+ +Aluno: Mateus Cezário Barreto.
+ +Nota: Ao lado de cada equivalência dentro de uma cadeia de equivalências, está grafada a propriedade usada para se chegar nela a partir da anterior.
+ +Questão 1
+ +`p vv not p equiv top`
+ +`p ^^ not p equiv bot`
+`p vv p equiv p`
+ +`p ^^ p equiv p`
+`not (p vv q) equiv (not p ^^ not q)`
+`p => q equiv not p vv q`
+`p vv q equiv q vv p`
+ +`p ^^ q equiv q ^^ p`
+`(p vv q) vv r equiv p vv (q vv r) equiv p vv q vv r`
+ +`(p ^^ q) ^^ r equiv p ^^ (q ^^ r) equiv p ^^ q ^^ r`
+`p vv top equiv top`
+ +`p ^^ bot equiv bot`
+`(p ^^ q) vv p equiv p`
+ +`(p vv q) ^^ p equiv p`
+`p vv bot equiv p`
+ +`p ^^ top equiv p`
+`p => not p equiv not p`
+ +`because p => not p equiv (not p vv not p)` implicação e disjunção
+ +`equiv not p` idempotência
+`not p => p equiv p`
+ +`because not p => p equiv (p vv p)` implicação e disjunção
+ +`equiv p` idempotência
+`(p <=> q) equiv (p => q) ^^ (q => p)`
+Letra A
+
+
+ `not p => (q => r)`
+
+ `equiv p vv (q => r)` implicação e disjunção
+
+ `equiv p vv (not q vv r)` implicação e disjunção
+
+ `equiv p vv not q vv r` associatividade
+
+ `equiv not q vv p vv r` comutatividade
+
+ `equiv not q vv (p vv r)` associatividade
+
+ `equiv q => (p vv r)` implicação e disjunção
+
+
`not p => (q => r)`
+ +`equiv p vv (q => r)` implicação e disjunção
+ +`equiv p vv (not q vv r)` implicação e disjunção
+ +`equiv p vv not q vv r` associatividade
+ +`equiv not q vv p vv r` comutatividade
+ +`equiv not q vv (p vv r)` associatividade
+ +`equiv q => (p vv r)` implicação e disjunção
+Letra B
+
+
+ `(p => r) vv (q => r)`
+
+ `equiv (not p vv r) vv (not q vv r)` implicação e disjunção
+
+ `equiv not p vv r vv not q vv r` associatividade da disjunção
+
+ `equiv not p vv not q vv r vv r` associatividade da disjunção
+
+ `equiv not p vv not q vv r` identidade da disjunção
+
+ `equiv (not p vv not q) vv r` associatividade da disjunção
+
+ `equiv not (not p vv not q) => r` implicação e disjunção
+
+ `equiv (p ^^ q) => r` de'morgan
+
+
`(p => r) vv (q => r)`
+ +`equiv (not p vv r) vv (not q vv r)` implicação e disjunção
+ +`equiv not p vv r vv not q vv r` associatividade da disjunção
+ +`equiv not p vv not q vv r vv r` associatividade da disjunção
+ +`equiv not p vv not q vv r` identidade da disjunção
+ +`equiv (not p vv not q) vv r` associatividade da disjunção
+ +`equiv not (not p vv not q) => r` implicação e disjunção
+ +`equiv (p ^^ q) => r` de'morgan
+Letra C
+
+
+ `not p ^^ (p vv q) => q`
+
+ `equiv not (not p ^^ (p vv q)) vv q` implicação e disjunção
+
+ `equiv (p vv not (p vv q)) vv q` de'morgan
+
+ `equiv (p vv not p) vv (q vv q)` idempotência
+
+ `equiv (p vv not p) vv q` terceiro excluído
+
+ `equiv top vv q` dominação
+
+
+
+
`not p ^^ (p vv q) => q`
+ +`equiv not (not p ^^ (p vv q)) vv q` implicação e disjunção
+ +`equiv (p vv not (p vv q)) vv q` de'morgan
+ +`equiv (p vv not p) vv (q vv q)` idempotência
+ +`equiv (p vv not p) vv q` terceiro excluído
+ +`equiv top vv q` dominação
+ + +Letra D
+
+
+ `a equiv (p ^^ not q)`
+
+
+
+ `(p ^^ not q) <=> ((p ^^ not q) => (q vv not p))`
+
+ `equiv a <=> (a => not a)` 1.D a
+
+ `equiv a <=> not a` contradição
+
+ `equiv (a => not a) ^^ (not a => a)` bi-implicação
+
+ `equiv not a ^^ (not a => a)` contradição
+
+ `equiv not a ^^ a` consequentia mirabilis
+
+ `equiv bot` terceiro excluído
+
+
`a equiv (p ^^ not q)`
+`(p ^^ not q) <=> ((p ^^ not q) => (q vv not p))`
+ +`equiv a <=> (a => not a)` 1.D a
+ +`equiv a <=> not a` contradição
+ +`equiv (a => not a) ^^ (not a => a)` bi-implicação
+ +`equiv not a ^^ (not a => a)` contradição
+ +`equiv not a ^^ a` consequentia mirabilis
+ +`equiv bot` terceiro excluído
+Questão 2
+ +`not p => r ^^ not s`
+ +`t => s`
+ +`u => not p`
+ +`not w`
+ +`u vv w`
+ +`therefore not t vv w`
+Suponhamos que f seja falsa.
+ +`not t vv w`
+ +`not (not t vv w)`
+ +`equiv t ^^ not w`
+Logo `t` é verdadeiro.
+ +Com base em d e e, `u` é verdadeiro.
+ +`u vv bot equiv u`
+Com base em c, `p` é falso:
+ +`top => not p`
+ +`equiv not p`
+Com base em a, e sendo `p` falso, `r` é verdadeiro e `s` é falso:
+ +`top => r not s`
+ +`equiv r ^^ not s`
+No entanto, com base em b e na hipótese inicial (t é verdadeiro):
+ +`top => s`
+ +`equiv s`
+Havendo uma contradição no valor de s
+Questão 3
+ +`E = (p oplus q) ^^ (p oplus not q)`
+ +| `p` | +`q` | +`E` | +
|---|---|---|
| F | +F | +F | +
| F | +V | +F | +
| V | +F | +F | +
| V | +V | +F | +
E é uma contradição
+Questão 4
+ +Seja o operador `odot` definido conforme definição de xnor
+ +`(p odot q) equiv ((p^^q) vv (not p ^^ not q))`
+Letra A
+ +`a equiv (p ^^ q)`
+ +`b equiv (not p ^^ not q)`
+ +`p odot q equiv a vv b` definição de xnor
+ +`x odot y ^^ z equiv x odot (y ^^ z) because a vv b ^^ z equiv a vv (b ^^ z)` xnor para disjunção
+Letra B
+ +Hipótese:
+ +| `x` | +`y` | +`z` | +`x odot (y ^^ z)` | +`(x odot y) ^^ (x odot z)` | +
|---|---|---|---|---|
| F | +F | +F | +V | +V | +
| F | +F | +V | +V | +F | +
| F | +V | +F | +V | +F | +
| F | +V | +V | +F | +F | +
| V | +F | +F | +F | +F | +
| V | +F | +V | +F | +F | +
| V | +V | +F | +F | +F | +
| V | +V | +V | +V | +V | +
Retomando 1:
+ +O operador `odot` não segue a lei da distributiva.
+ +`x odot (y ^^ z) != (x odot y) ^^ (x odot z)`
+Questão 5
+ +`p ^^ not q => r`
+`p vv q`
+`q => p`
+`therefore r`
+`(q => p)` c
+`equiv (not q vv p)` implicação e disjunção
+`equiv (p vv not q)` comutatividade
+`(p vv q) ^^ (p vv not q)` b e
+ +`((p ^^ (p vv q)) vv (not q ^^ (p vv q)))` distributividade
+ +`((p^^p) vv (p^^q)) vv ((not q ^^ p) vv (not q ^^ q))` distributividade
+ +`((p^^p) vv (p^^q)) vv ((not q ^^ p) vv bot)` terceiro excluído
+ +`((p^^p) vv (p^^q)) vv (not q ^^ p)` identidade
+ +`(p vv (p^^q)) vv (not q ^^ p)` idempotência
+ +`p vv (not q ^^ p)` absorção
+ +`p` absorção
+A conclusão d seria sustentada pelo valor de `q`, pois, conforme em a
+ + + +Mas, já exauridas as considerações, nada leva à assumir o valor de `q`. E, portanto, nada leva a assumir o valor de `r`.
+Questão 6
+ +Como por (e) sabemos que s é falso e a falsidade de s implica na falsidade de t, conforme (c), resta que w seja verdadeiro, baseado em (g).
+ +Sabendo que s é falso, baseado em (b), r é verdadeiro. A mesma lógica ocorrem em (d), de onde extrai-se que q é falso. A partir de (a), sendo q falso, p também é falso, completando a condição de (f) de onde afirma-se que u é verdadeiro.
+ +Sendo u e w veradeiros, a conclusão em (h) é válida.
+Questão 7
+ +a = [Sistema de arqivos está destravado]
+ +b = [Novas mensagens serão enfileiradas]
+ +c = [Novas mensagens serão enviadas para o buffer]
+ +d = [Sistema funcionando]
+ +`a => b`
+ +`a <=> d`
+ +`a vv not b => c`
+ +`c`
+O O sistema é consistente. As duas primeiras proposições lógicas não apresentam contradição, e o fato de `c` ser verdadeiro valida a implicação em `c`.
+Questão 8
+ +`x leftarrow not (x odot y)`
+`y leftarrow not (x odot y)`
+`x leftarrow not (x odot y)`
+`not (p odot q) equiv p oplus q`
+`x leftarrow x oplus y`
+`y leftarrow x oplus y`
+`x leftarrow x oplus y`
+O valor final de `x` contém o valor inicial de `y`, e o valor final de `y` contém o valor inicial de `x`.
+ +É possível visualizar melhor a troca com mais identificadores para representar os três valores, respectivamente.
+ +`x oplus y`
+`a oplus y`
+`a oplus b`
+`b equiv (x oplus y) oplus y`
+`equiv x oplus (y oplus y)` associatividade
+`equiv x oplus bot` contradição
+`equiv x` identidade
+`c equiv a oplus x` valor de b
+`equiv (x oplus y) oplus x` a
+`equiv x oplus y oplus x` associatividade
+`equiv x oplus x oplus y` comutatividade
+`equiv bot oplus y` contradição
+`equiv y` identidade
+Lembrando que `b` representa o valor final de `y` (que é `x`) e `c` representa o valor final de `y` (que é `y`).
+Questão 9
+ +`e = ` [Estudante dessa classe]
+`l = ` [Ter lido o livro]
+`p = ` [Passar no primeiro exame]
+ +`exists e (not l(e))`
+ +`forall e (p(e))`
+ +`therefore exists e (not l(e) ^^ p(e))`
+A conclusão pode ser justificada por instanciação.
+ +`exists e (not l(e)) => not l(c)`
+ +`forall e (p(e)) => p(c)`
+ +`therefore not l(c) ^^ p(c)`
+Questão 10
+ +`i = ` [Diminuição da taxa para importação]
+`f = ` [Diminuição da taxa federal]
+`c = ` [Aumento do comércio]
+ +`i => c`
+`f oplus not c equiv f odot c`
+`i`
+`therefore f`
+Se `i` é verdadeiro, `c` também é com base em importação e comércio. Isso significa que `f` também é verdadeiro, conforme taxa federal e comércio. O argumento é válido.
+Questão 11
+ +`p => q equiv (p ^^ not q) => bot`
+ +| `p` | +`q` | +`p => q` | +`(p ^^ not q) => bot` | +
|---|---|---|---|
| F | +F | +V | +V | +
| F | +V | +V | +V | +
| V | +F | +F | +F | +
| V | +V | +V | +V | +
Questão 12
+ +Sabemos que existe um `x` que satisfaz `P` e que existe um `x` que satisfaz `Q`, o erro está em 3 e 5, ao supor que a instância que satisfaz cada propriedade é a mesma.
+Questão 13
+ +Letra A
+ +`s_1 : p ^^ not q ^^ not r`
+ +`s_1** : p vv not q vv not r`
+ +`s_2 : (p ^^ q ^^ r) vv t`
+ +`s_2** : (p vv q vv r) ^^ t`
+ +`s_3 : (p vv bot) ^^ (q vv top)`
+ +`s_3** : (p ^^ top) vv (q ^^ bot)`
+Letra B
+ +`s_1 : `(p ^^ q) vv p equiv p`
+`s_1** : `(p vv q) ^^ p equiv p`
+`s_1 equiv s_1**` absorção
+Letra C
+ +`p : x vv top`
+`p** : x ^^ bot`
+`q : top`
+`q** : bot`
+`p equiv q` dominação
+`p** equiv q** ` dominação
+