Proposições, representações simbólicas e tautologias

A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações.

Proposição / declaração / sentença

Chama-se de proposição toda oração declarativa (não é exclamativa nem nem interrogativa), que possui sujeito e predicato e pode assumir apenas um dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou falsa (F).

São exemplos de proposições:
1. Nove é diferente de cinco. (9 \neq 5)
2. Sete é maior que três. (7 > 3)
3. Dois é um número inteiro. (2 \in \mathbb{Z})
4. Três é divisor de onze. (3 \mid 11)
5. Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4 \cdot 5 = 20)
6. Dois mais dois é igual a três. (2 + 2 = 3)
7. Belém é a capital do Pará.
8. Todo número par natural é a soma de dois números primos.

As proposições 1, 2, 3, 5, 7 e 8 são verdadeiras. As proposições 4 e 6 são falsas.

Não são exemplos de proposições:
1. Leia isto cuidadosamente.
  - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença imperativa.
2. Que horas são?
  - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa.
3. x mais um é igual a 2. (x + 1 = 2).
  - Conhecida como sentença aberta (ou expressão aberta). Apesar de possuir predicado, x não possui sujeito definido (o sujeito deveria ser o valor concreto de x). Portanto, não é proposição.
4. Três vezes cinco mais um. (3 \cdot 5 + 1)
  - Não é proposição pois não possui predicado.
5. A raiz quadrada de dois é número racional? (\sqrt{2} \in \mathbb{Q}?)
  - Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa.
6. O triplo de um número menos um é igual a onze. (3x - 1 = 11)
  - Novamente, o sujeito não está definido. Portanto, não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.

Representação simbólica:

Durante este documento, letras minúsculas (como p, q, r e s) serão usadas para representar as proposições.

Exemplos:
- p = "Chove toda quinta-feira"
- q = "$7 > 3$".

Negação

A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo $\neg$p, $\sim$p ou \overline{p} (usaremos \neg p).

Exemplos:
1. p: Nove é diferente de cinco. (9 \neq 5)
  - \neg p: Nove é igual a cinco (9 = 5)
2. p: Sete é maior que três (7 > 3)
  - \neg p: 7 é menor ou igual a três (7 \leq 3)
3. p: Dois é um número inteiro (2 \in \mathbb{Z})
  - \neg p: Dois não é um número inteiro (2 \notin \mathbb{Z})
4. p: Três é divisor de onze (3 \mid 11)
  - \neg p: Três não é divisor de 11 (3 \not\mid 11)
5. p: Quatro vezes cinco é igual a 20 (4 \cdot 5 = 20)
  - \neg p: Quatro vezes cinco não é igual a 20 (4 \cdot 5 \neq 20)

A proposição \neg p tem sempre o valor oposto de p, isto é, \neg p é verdadeira quando p é falsa e \neg p é falsa quando p é verdadeira.

Este critério está resumido na tabela abaixo, denominada tabela-verdade da proposição \neg p:

p	`\neg p`
V	F
F	V

Proposição composta (Conectivos) e Valores lógicos

Novas proposições podem ser construídas mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos. O valor lógico de uma proposição combinada depende dos valores lógicos de seus componentes e dos conectivos usados.

Conectivo `\land`: Conjunção

A expressão p \land q (lê-se "p e q" ) é chamada conjunção de p e q.

Exemplos:
1. p:2 > 0
  q: 2 \neq 1
  p \land q: 2 > 0 e 2 \neq 1
2. p: -2 < -1
  q: (-2)^{2} < (-1)^{2}
  p \land q: -2 < -1 e (-2)^{2} < (-1)^{2}

A conjunção p \land q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p \land q é falsa.

A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de p \land q para todos os valores lógicos possíveis dos elementos a e b. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição p \land q:

`p`	`q`	`p \land q`
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Conectivo `\lor`: Disjunção

A expressão p \lor q (lê-se "p ou q") é chamada disjunção de p e q. A disjunção também é conhecida como ou-inclusivo.

Exemplos:
1. p: 5 > 0 q: 5 > 1 p \lor q: 5 > 0 ou 5 > 1.
2. p: 10 é um número primo q: 10 é um número composto p \lor q: 10 é um número primo ou número composto.

A disjunção p \lor q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p \lor q é falsa.

A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de a \lor b para todos os valores lógicos possíveis dos elementos a e b. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição p \lor q:

`p`	`q`	`p \lor q`
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

EXERCICIOS PARA ESSA NOTA

==(depois)==

Referências:

\rightarrow Conteúdo anterior: Introdução

5.8 KiB Raw Permalink Blame History