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# Proposições, representações simbólicas e tautologias
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A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações.
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## Proposição / declaração / sentença
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Chama-se de proposição toda oração **declarativa** (não é exclamativa nem nem interrogativa), que **possui sujeito e predicato** e **pode assumir apenas um dos dois valores lógicos**: ou é verdadeira (**V**) ou falsa (**F**).
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- São exemplos de proposições:
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1. Nove é diferente de cinco. $(9 \neq 5)$
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2. Sete é maior que três. $(7 > 3)$
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3. Dois é um número inteiro. $(2 \in \mathbb{Z})$
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4. Três é divisor de onze. $(3 \mid 11)$
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5. Quatro vezes cinco é igual a vinte. $(4 \cdot 5 = 20)$
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6. Dois mais dois é igual a três. $(2 + 2 = 3)$
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7. Belém é a capital do Pará.
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8. Todo número par natural é a soma de dois números primos.
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As proposições $1, 2, 3, 5, 7$ e $8$ são **verdadeiras**.
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As proposições $4$ e $6$ são **falsas**.
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- Não são exemplos de proposições:
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1. Leia isto cuidadosamente.
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- Não é uma sentença declarativa. É uma sentença imperativa.
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2. Que horas são?
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- Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa.
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3. $x$ mais um é igual a 2. $(x + 1 = 2)$.
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- Conhecida como sentença aberta (ou expressão aberta). Apesar de possuir predicado, $x$ não possui sujeito definido (o sujeito deveria ser o valor concreto de $x$). Portanto, não é proposição.
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4. Três vezes cinco mais um. $(3 \cdot 5 + 1)$
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- Não é proposição pois não possui predicado.
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5. A raiz quadrada de dois é número racional? $(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}?)$
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- Não é uma sentença declarativa. É uma sentença interrogativa.
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6. O triplo de um número menos um é igual a onze. $(3x - 1 = 11)$
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- Novamente, o sujeito não está definido. Portanto, não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
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### Representação simbólica:
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Durante este documento, letras minúsculas (como $p, q, r$ e $s$) serão usadas para representar as proposições.
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- Exemplos:
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- $p =$ "Chove toda quinta-feira"
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- $q =$ "$7 > 3$".
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## Negação
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A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada **negação de p** e indicada com o símbolo $\neg$p, $\sim$p ou $\overline{p}$ (usaremos $\neg$ p).
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- Exemplos:
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1. p: Nove é diferente de cinco. ($9 \neq 5$)
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- $\neg p$: Nove é igual a cinco ($9 = 5$)
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2. p: Sete é maior que três ($7 > 3$)
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- $\neg p$: 7 é menor ou igual a três ($7 \leq 3$)
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3. p: Dois é um número inteiro ($2 \in \mathbb{Z}$)
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- $\neg p$: Dois não é um número inteiro ($2 \notin \mathbb{Z}$)
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4. p: Três é divisor de onze ($3 \mid 11$)
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- $\neg p$: Três não é divisor de 11 ($3 \not\mid 11$)
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5. p: Quatro vezes cinco é igual a 20 ($4 \cdot 5 = 20$)
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- $\neg p$: Quatro vezes cinco não é igual a 20 ($4 \cdot 5 \neq 20$)
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A proposição $\neg p$ tem sempre o valor oposto de p, isto é, $\neg$ p é verdadeira quando p é _falsa_ e $\neg p$ é falsa quando p é verdadeira.
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Este critério está resumido na tabela abaixo, denominada **tabela-verdade** da proposição $\neg p$:
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| p | $\neg p$ |
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| :-: | :------: |
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| V | F |
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| F | V |
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## Proposição composta (Conectivos) e Valores lógicos
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Novas proposições podem ser construídas mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos. O valor lógico de uma proposição combinada depende dos valores lógicos de seus componentes e dos conectivos usados.
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### Conectivo $\land$: Conjunção
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A expressão $p \land q$ (lê-se "p e q" ) é chamada **conjunção** de $p$ e $q$.
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- Exemplos:
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1. $p:2 > 0$
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$q: 2 \neq 1$
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$p \land q: 2 > 0$ e $2 \neq 1$
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2. $p: -2 < -1$
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$q: (-2)^{2} < (-1)^{2}$
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$p \land q: -2 < -1$ e $(-2)^{2} < (-1)^{2}$
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A conjunção $p \land q$ é verdadeira se $p$ e $q$ são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então $p \land q$ é falsa.
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A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \land b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \land q$:
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| $p$ | $q$ | $p \land q$ |
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| :---: | :---: | :---: |
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| V | V | V |
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| V | F | F |
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| F | V | F |
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| F | F | F |
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### Conectivo $\lor$: Disjunção
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A expressão $p \lor q$ (lê-se "p ou q") é chamada **disjunção** de $p$ e $q$. A disjunção também é conhecida como **ou-inclusivo**.
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- Exemplos:
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1. $p: 5 > 0$
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$q: 5 > 1$
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$p \lor q: 5 > 0$ ou $5 > 1$.
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2. $p: 10$ é um número primo
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$q: 10$ é um número composto
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$p \lor q: 10$ é um número primo ou número composto.
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A disjunção $p \lor q$ é verdadeira se ao menos uma das proposições $p$ ou $q$ é verdadeira; se $p$ e $q$ são ambas falsas, então $p \lor q$ é falsa.
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A tabela abaixo apresenta os valores lógicos de $a \lor b$ para todos os valores lógicos possíveis dos elementos $a$ e $b$. Essa tabela é denominada tabela-verdade da preposição $p \lor q$:
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| $p$ | $q$ | $p \lor q$ |
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| :---: | :---: | :---: |
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| V | V | V |
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| V | F | V |
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| F | V | V |
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| F | F | F |
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# EXERCICIOS PARA ESSA NOTA
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==(depois)==
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Referências:
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- [Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação - Judith Gersting](https://app-profview.grupogen.com.br/fundamentos-matematicos-para-a-ciencia-da-computacao)
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- [Fundamentos de matemática elementar - Volume 1: Conjuntos e funções - Gelson Iezzi e Carlos Murakami](https://www.amazon.com.br/Fundamentos-Matemática-Elementar-Gelson-Murakami/dp/8535716807) |